千古之謎：幾何、天文與物理兩千
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內容簡介
十六世紀初，哥白尼提出「日心說」，動搖了過往千年「地球為宇宙中心」的論點。一六○九年，近代科學之父伽利略發明望遠鏡觀望天際，星體面貌不再遙不可及；同年，天文學巨擘克卜勒的天文鉅作《新天文學》（Astronomia Nova）出版，書中發表行星運動第一和第二定律，徹底改變世人對太陽系行星軌道的認知。牛頓論證行星運動定律，並提出萬有引力，為「日心說」提供了有力的理論支持，推動了科學革命。
在中國、埃及、希臘、巴比倫等數個文明古國，自有文明智識以來，幾何、天文與物理這三者緊密相連，互有影響，而天文星象的獨特難解一直是古天文學的中心課題，宇宙的大小、太陽到地球的距離、銀河系中的行星運行軌跡，這些現今隨手就可查到的資料，在當時是眾說紛紜的千古之謎。
這段解謎之旅，從古希臘的學者托勒密等人開始，由地心說（地球是宇宙中心）到哥白尼提出的日心說（太陽是宇宙中心），不斷往真相前進，之後伽利略觀察到木星衛星、克卜勒發現行星運行的定律，更有牛頓的重力實驗、慣性定律與萬有引力定律等奠定驗證。《千古之謎》試著在幾何、天文、物理長達兩千年的發展史中，讓讀者親身體會其間引人入勝、發人深思，富有啟發的思想、方法和重大突破，進而能有更深入的了解與興趣。
作者簡介
項武義
美國普林斯頓大學（Princeton University）數學博士，曾任香港科技大學數學系教授、美國加州大學柏克萊校區數學系教授，現任國立臺灣大學數學系客座講座教授；著有《基礎分析學》、《基礎代數學》等書。
張海潮
民國38年生，美國布藍底斯大學(Brandeis University)數學博士，曾任臺大數學系教授。希望能介紹數學迷人的一面給更多人知道。有《說數》等著作，張教授並於2010年1月的《科學人雜誌》【不可勝數】專欄中撰文：「為什麼要學質數？」
姚珩
美國加州大學（University of California）物理博士，目前為台灣師範大學物理系教授。著有《物理思想史 — 從神話思維到科學革命》、《從夸克到宇宙》、《量子力學導論》等，並多次在《科學教育月刊》及其他科普期刊上發表多篇論文。
在中國、埃及、希臘、巴比倫等數個文明古國，自有文明智識以來，幾何、天文與物理這三者緊密相連，互有影響，而天文星象的獨特難解一直是古天文學的中心課題，宇宙的大小、太陽到地球的距離、銀河系中的行星運行軌跡，這些現今隨手就可查到的資料，在當時是眾說紛紜的千古之謎。
這段解謎之旅，從古希臘的學者托勒密等人開始，由地心說（地球是宇宙中心）到哥白尼提出的日心說（太陽是宇宙中心），不斷往真相前進，之後伽利略觀察到木星衛星、克卜勒發現行星運行的定律，更有牛頓的重力實驗、慣性定律與萬有引力定律等奠定驗證。《千古之謎》試著在幾何、天文、物理長達兩千年的發展史中，讓讀者親身體會其間引人入勝、發人深思，富有啟發的思想、方法和重大突破，進而能有更深入的了解與興趣。
作者簡介
項武義
美國普林斯頓大學（Princeton University）數學博士，曾任香港科技大學數學系教授、美國加州大學柏克萊校區數學系教授，現任國立臺灣大學數學系客座講座教授；著有《基礎分析學》、《基礎代數學》等書。
張海潮
民國38年生，美國布藍底斯大學(Brandeis University)數學博士，曾任臺大數學系教授。希望能介紹數學迷人的一面給更多人知道。有《說數》等著作，張教授並於2010年1月的《科學人雜誌》【不可勝數】專欄中撰文：「為什麼要學質數？」
姚珩
美國加州大學（University of California）物理博士，目前為台灣師範大學物理系教授。著有《物理思想史 — 從神話思維到科學革命》、《從夸克到宇宙》、《量子力學導論》等，並多次在《科學教育月刊》及其他科普期刊上發表多篇論文。
目錄
第一章：古希臘幾何基礎論之浴火重生與連續世界的認知
1、中西定量平面幾何之比較分析與希臘幾何基礎初論
2、希伯薩斯的偉大發現 － 不可公度比的存在
3、歐多克斯之逼近論 － 幾何基礎論之震後重建
4、連續性與連續世界的認知
第二章：天文學的發生與內容
1、天文崇拜及神秘性
2、第一個天體模型 －歐多克斯的同心球
3、阿利斯塔克對地心說的質疑
4、阿波羅尼斯的本輪-均輪、偏心圓與橢圓
5、古典天文學的奠基者 － 希帕克斯
6、集古天文學大成的行星理論 － 托勒密系統
第三章：科學革命的序曲
1、目的論之宇宙觀和文藝復興
2、新柏拉圖主義 －數學與實體
3、哥白尼日心說之特質 －簡單性
4、行星逆行與日心系統之和諧性
5、精緻與完善的天文觀測者 － 第穀
6、對圓的迷思與太陽角色的不定性
第四章：克卜勒三定律之探索與發現
1、啟蒙與時代背景
2、概述行星運行三定律的探索歷程
3、地球繞日運行的面積律：邁向新天文學的基礎性重大突破
4、千古之謎的真相大白 － 又見橢圓
第五章：重訪行星三定律的探索歷程 － 師法其意、改弦更張、身歷其境
1、重訪之一：發現地球面積律的簡潔途徑
2、重訪之二：發現地球橢圓律的簡潔途徑
3、重訪之三：水到渠成順理成章 － 行星運行三定律
4、回顧、演練與展望
第六章：天地一體的萬有引力定律
1、劃時代《原理》一書之定義定律與核心內涵
2、月亮、蘋果及拋體運動
3、微積分、幾何和運動學的三連星
4、伽利略、笛卡兒與克卜勒
5、面積律等同向心力 －《原理》的首要命題
6、《原理》中的直接問題與逆問題
第七章：《原理》重要命題的闡述與特質
1、基本微分運算與位置和速度
2、從面積律和橢圓律到平方反比力律 － 直接問題
3、平方反比力至橢圓律或圓錐曲線軌道 － 克卜勒逆問題
4、球體的吸引力與積分之藝術
序／導讀
縱觀理性文明從紀前五世紀到十七世紀兩千多年的發展史，其中幾何學、天文學和物理學三者緊密相聯，而且扮演著其主角與主軸。在諸多古文明中，如中國、埃及、巴比倫、希臘、瑪雅等等，天文、星象一直是令人神往、發人深思者；而且也都注意到天際有五顆與眾不同、奇特獨行的行星，即金、木、水、火、土 五大行星。它們漫遊於黃道十二宮，其行蹤獨特，令人難解其怪。因此也就自然而然地成為古天文學之中心課題，而且也是多方解說，眾說紛紜，百思不得其解的『千古之謎』。此事一直到整整四百年前之1609年克卜勒行星運行定律之發現才得以真相大白。可以說，上述千古之謎乃是貫串幾何學、天文學與物理學這兩千年研究的核心議題。
自古以來，量天、理解天象一直是研究幾何學的主要原動力和嚮往之鵠的。古希臘幾何學家們，體認到量天在精准上的極高要求，因而促使他們在定量幾何基礎論上力求嚴格、明確；長話短說，首先他們在長度的度量上提出”可公度性”，但是在其初論中”誤判”可公度性是普遍成立者並以此為其頭號公設。此事一直到希伯薩斯發現不可公度性之存在才迷途知返；其後希臘幾何學界經歷了大半世紀的危機、挑戰與”煉獄”，才由歐多克斯創逼近論而得以重建其幾何基礎論，乃是理性文明史上第一個偉大的基石與里程碑。如今回顧反思，我們可以認識到幾何學是由於天文學的需求而立論嚴謹，雖經挫折，但終能浴火重建，脫胎換骨，為理性文明奠定了極為基本、重要之幾何與分析基礎論。
古希臘的幾何學大師，如歐多克斯、阿波羅尼斯，也都以”量天”為其志趣；而其天文學大師如阿利斯塔克、希帕克斯和托勒密，也都精通幾何學 (其實，他們可以說都是兩栖，雙修的幾何、天文學大師)。古希臘文明在天文學上，世代相承的成果在托勒密的《至大論》中集其大成。大體上乃是一種純幾何的試圖對於行星、太陽、月亮的”視運動”作一系統描述；而當年所採用者乃是”地心”體系而不是”日心”體系。今日反思，此事實乃誤入歧途。試問當年為什麼會誤入歧途呢？而且還會在這件事上有長達千年的迷途不知返呢？此事著實令人費解！其實，遠在紀前三世紀，阿利斯塔克即已提出”日心”之主張，但是因為”日心”說和當代的”物理觀”全然相悖而被棄置，一直冷凍到十六世紀才由哥白尼給以 ”文藝復興”。大致上，上述迷途千年難返的原因大概可以歸結到下述兩點：其一是長期以來奉為經典的亞．斯多德物理論述，其實它乃是一種形而上的似是而非之論。其二是托勒密體系對於行星的”視運動”基本上具有相當不錯的可預測性 (一般約在10分，亦即1/6度左右)。這種將錯就錯，還能把相當複雜的週期平面運動用均輪、本輪、小本輪 (亦即多個等速圓周運動之妥加組合) 描述得差不離，相當程度地反映著希臘幾何天文學家世代相承地鑽研行星視運動上，用力之深和高度的幾何技巧。
但是這種本質上和事實極為不符的”地心”體系，業已到了愈來愈繁複，左支右絀，難以為繼的情況。使得有識之天文學家們覺得有改弦更張之必要。及至文藝復興後期，幸有哥白尼、第谷和克蔔勒三位天文學大師，各盡其畢生之力完成了天文學巨棒的”三接力”。迷途知返，千古之謎得以真相大白；幾何學量天之夢想終於在克卜勒的超人奮鬥下得以圓滿達成。四百年前是整個理性文明史上無比輝煌的時刻。克蔔勒行星運行三定律是理性文明中第二個光芒萬丈的里程碑。它不但全面革新了天文學，也使得物理學迷途知返，全面更新。由克卜勒定律，伽利略的重力實驗，笛卡兒的解析幾何與慣性定律，一直到牛頓的萬有引力定律的發現，可以說是水到渠成，順理成章。由克蔔勒的新天文學到牛頓的新物理學，起承轉合進展之神速，比之於兩千年的進化歷程，可以說簡直是一氣呵成！牛頓的巨著《自然哲學的數學原理》則是理性文明中第三個偉大的里程碑。
千古之謎在幾何、天文、物理長達兩千年的發展史中，貫串全局。其間引人入勝、發人深思，富有啟發的思想、方法和重大突破比比皆是。我們試寫這本小冊子，概述其要並且試著讓讀者能身歷其境，重訪某些重大突破的精要所在。師法先賢，高山仰止、心嚮往之。希望此書能有助於有智、有志之青年能夠踏著巨人的腳印，邁步奮進，投身于理性文明之世代相承，承先啟後，繼往開來之長河。
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